Lien entre sens de variation et dérivée

On se propose d'étudier le lien entre la fonction dérivée et le sens de variation de la fonction.

Ce fichier de géométrie dynamique permet de comparer la courbe représentative d'une fonction `f` , dérivable sur `\mathbbR` , représentée dans la partie supérieure et celle représentative de sa dérivée  \(f'\)  dans la partie inférieure. 

On place le point  `\text{M}`  de coordonnées  `(x_\text{M};y_\text{M})` sur la courbe représentative de  `f`  et le point  \(\text{M}'\) de coordonnées  `(x_\text{M};f^{\prime}(x_\text{M}))` sur la courbe représentative de  \(f'\) .

1. En déplaçant le point  \(\text{M}\) , lire le signe de \(f^{\prime}(x_M)\) et compléter le tableau suivant avec le signe de \(f'(x)\) et les variations de \(f\) .

2. Vérifier le tableau en faisant afficher dans les deux fenêtres les zones correspondant au signe de  \(f^{\prime}(x_M)\)  et aux variations de `f` en cliquant sur « Activer les zones » puis en déplaçant le point \(\text M.\)

• `f` est croissante sur les intervalles qui limitent les parties du plan qui se colorient en vert et décroissante sur ceux qui limitent les parties du plan qui se colorient en rouge.
  
• Le signe de  \(f^{\prime}(x_M)\) est positif sur les intervalles qui limitent les parties du plan qui se colorient en vert et négatif sur ceux qui limitent les parties du plan qui se colorient en rouge.
  

3. Quelle relation semble exister entre le signe de \(f^{\prime}(x_M)\) sur un intervalle et les variations de  \(f\) sur le même intervalle ?

4. Observer les points de la courbe représentative de la fonction \(f\) d'abscisses respectives \(-2; 1; 4; 7\)  et lire les valeurs de   \(f^{\prime}(-2),f^{\prime}(1),f^{\prime}(4),f^{\prime}(7)\) . Que peut-on conjecturer ?